Je vais essayer de me marquer ça là, de manière synthétique.
La version donnée ici http://sammyfisherjr.net/Shaarli/?ilcNKQ est rigolote, mais j'ai envie d'en savoir plus.

Sunnites >> majoritaires (90%) - étymologie : "sunna", la ligne de conduite de Mahomet. Le calife est un simple membre de la communauté des croyants, il est seulement doté de compétences politiques.
N.B. : "le sunnisme, pris dans son ensemble, correspond à un islam majoritaire, bien qu'il admette dans la réalité une grande variété d'opinions qui s'opposent sur des questions, parfois importantes, de théologie ou de droit, sans qu'il en résulte des divisions irréductibles dans la communauté"

Chiites >> minoritaires, sauf en Iran - étymologie : désignait à l'origine un "groupe de partisans" (y compris des non musulmans). Le terme a acquis graduellement le sens secondaire de partisans d’Ali, le cousin et gendre du prophète. Les califes, outre d'être des successeurs plus ou moins de la lignée du prophète (voir plus bas), sont aussi des guides politiques et religieux, qui ont accès au sens caché du message divin.
Dimension messianique. Les chiites attendent le retour du "douzième imam" à la fin des temps.

Pourquoi ne sont-ils pas d'accord ?

• les chiites croient que le meilleur pour guider les croyants après la mort de Muhammad, c'est quelqu'un désigné par lui (mais après avoir été inspiré par Dieu ; status : it's complicated)
• les sunnites reconnaissent au contraire le califat, qui se rapproche plus de la tradition tribale

Histoire : il y eu un schisme à la mort du prophète, en 632, et les deux communautés se sont copieusement foutues sur la gueule pour savoir qui c'est qu'aurait raison.
Les 3 premiers califes sont sunnites, mais Ali (le gendre) fait un come-back et le conflit qui s'ensuit dure au moins deux générations. Les sunnites en sortent vainqueurs, et le fils d'Ali est tué au combat.
Ce conflit de succession engendre une scission fondamentale au sein de l'islam: les chiites d’un côté, qui reconnaissent Ali comme le premier successeur de Mahomet, et les sunnites de l’autre, qui ne voient en Ali que le quatrième calife à qui succède la dynastie des Omeyyades. Voir ici http://rattrapages-actu.fr/fiches-actu/islam-difference-entre-chiisme-et-sunnisme-0 pour les conséquences de cet antagonisme à l'époque actuelle (révolution iranienne, guerre Iran-Irak, conflit syrien...)

Il existe un troisième courant, le Kharidjisme. Je ne veux pas savoir pourquoi ils se différencient des autres, j'ai mal à la tête !!! Les dernières communautés kharidjites sont celles du sultanat d'Oman, celle des Mozabites, qui habitent les oasis du Mzab en Algérie. Les Kharidjites sont aussi présents sur l'île de Djerba en Tunisie, dans le djebel Nefoussa en Libye, et à Zanzibar.

Je ne sais plus où j'ai lu que l'Islam était comparable aux projets informatiques qui se forkent à l'infini (genre Linux), mais c'est effectivement assez proche de la vérité... (EDIT suite à une remarque de Kevin http://www.mypersonnaldata.eu/shaarli/?M50T2w : oui, c'est le cas de toutes les religions finalement... J'ai fait de l'ethnocentrisme : les forks du catholicisme me semblent plus "simples" car culturellement plus proches de moi -on les apprend à l'école en gros- alors que ceux de l'Islam, je suis obligé de me coltiner plusieurs sites web pas toujours très clairs pour ne serait-ce que savoir qu'ils existent...)

Sources :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sunnisme
https://fr.wikipedia.org/wiki/Chiisme
https://fr.wikipedia.org/wiki/Kharidjisme
http://rattrapages-actu.fr/fiches-actu/islam-difference-entre-chiisme-et-sunnisme-0
http://www.20minutes.fr/monde/1276073-20140119-20140119-islam-pourquoi-sunnisme-chiisme-sopposent-ils
http://www.linternaute.com/savoir/idee-religion/dossier/sunnisme-chiisme/deux-courants.shtml

Voir aussi : http://www.lesclesdumoyenorient.com/L-opposition-sunnisme-chiisme-est.html (pas lu)

EDIT 2 : une arborescence (via Bajazet) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/ArboIslam.svg/1032px-ArboIslam.svg.png